Danilo Kostevšek prihaja iz Maribora, kjer se je šolal na Srednji glasbeni in baletni šoli na oddelku za petje v razredu prof. Leone Bašović-Gerenčer. Petje je študiral na Akademiji za glasbo v Ljubljani in leta 2005 diplomiral v razredu red. prof. Eve Novšak-Houška na koncertno-pedagoški smeri. Podiplomski specialistični študij Samospev in oratorij je zaključil leta 2010 na Univerzi za glasbo in upodabljajoče umetnosti na Dunaju v razredu priznane slovenske mezzosopranistke in komorne pevke Marjane Lipovšek.

Svojo izobrazbo je Danilo Kostevšek zaokrožil na mednarodnih seminarjih (Dubrovnik, Dunaj, Salzburg) pri priznanih pevskih pedagogih, kot so Alfred Burgstaller, Ian Honeyman, Marvin H. Keenze, Maarten Koningsberger in Richard Miller.

Je dobitnik dveh nagrad na Državnem tekmovanju mladih glasbenikov Republike Slovenije (1998, 2000).

Danilo Kostevšek je sodeloval z različnimi komornimi skupinami in bil v času študija član Komornega zbora RTV Slovenija. Kot solist je sodeloval pri snemanju avtorske filmske glasbe Tomaža Raucha za film Gangl (2002). Nastopil je na recitalih abonmajskega ciklusa Glasbene mladine ljubljanske (2003) ter na koncertnem abonmaju Akademije za glasbo z orkestrom SNG Opera in Balet Ljubljana (2004). Na Festivalu Brežice je v letu 2006 sodeloval pri krstni izvedbi opere Der Zauberprofessor mladega slovenskega skladatelja Jureta Godlerja (vloga Dubrovnika). V letu 2008 je uspešno nastopil v Zagrebu pod dirigentskim vodstvom Tomislava Fačinija v komorni operi Paula Hindemitha Hin und zurück v vlogi Modreca. V začetku leta 2011 je izvedel noviteto za glas, trobento in orgle skladatelja Zeqirja Ballata. V sezoni 2011/12 je debitiral v SNG Opera Balet Maribor v opereti Franza Leharja Vesela vdova v vlogi St. Briocha ter istega leta krstno izvedel delo Roberta Kampleta Pogreb pri Svetem križu v okviru EPK Maribor 2012 s simfoničnim orkestrom Konservatorija Maribor. V sezoni 2012/13 je nastopil v abonmajskem ciklusu Narodnega doma Maribor. Na koncertnem ciklusu Glasbene matice Ljubljana (2013) je s pianistom Ivanom Ferčičem nastopil z recitalom samospevov in te tudi posnel za Radio Slovenija. Istega leta je skupaj z Kvartetom Feguš izvedel delo Igorja Stravinskega In memoriam Dylan Thomas.

Danilo Kostevšek nastopa kot koncertni pevec in interpret samospevov doma in v tujini (Avstrija, Hrvaška in Nemčija). Od leta 2005 deluje tudi kot pedagog in od leta 2009 poučuje petje na mariborskem Konservatoriju za glasbo in balet.